I  A ideia do dia

Três maiorias que não fecham

O fenômeno ganhou o nome de paradoxo de Condorcet, e o termo técnico para o que ele quebra é transitividade (a regra de que, se A vem antes de B e B antes de C, então A vem antes de C). Cada eleitor do exemplo é transitivo. A soma deles, não.

A coletividade se comporta como uma pessoa que diz preferir café a chá, chá a suco e suco a café. Num indivíduo, a sequência pareceria confusão. Numa maioria, nasce de gente sensata somada pela regra mais simples que existe.

Condorcet propôs um critério para escapar do impasse quando possível. Se um candidato vence todos os outros em duelos um contra um, ele deve ser o escolhido. Esse candidato ficou conhecido como vencedor de Condorcet (o que bate cada rival no confronto direto). O paradoxo é justamente o caso em que esse vencedor não existe.

O problema seguinte é prático. Sem vencedor de Condorcet, quem define a ordem das votações define o resultado. Na assembleia de 60 pessoas, o presidente que põe B contra C primeiro e depois o vencedor contra A entrega a vitória a A. Se começar por A contra B, quem leva é C.

O raciocínio, em 3 passos

Condorcet não achava o ciclo frequente. Ele tratava a questão como um risco que aumenta com o número de opções e de eleitores divididos, e recomendava que, havendo ciclo, a assembleia descartasse a maioria mais fraca do círculo. A saída salva algumas votações, mas não muda a descoberta: a vontade da maioria pode simplesmente não ter ordem.

O caso mais conhecido do problema no século seguinte apareceu em Oxford. Em 1876, o matemático Charles Dodgson, que assinava Lewis Carroll nos livros de Alice, publicou panfletos sobre eleições no colégio Christ Church, onde lecionava, e redescobriu o ciclo sem saber que Condorcet chegara antes.

II  Quem pensou

O marquês que contava votos

Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquês de Condorcet, nasceu em 17 de setembro de 1743, em Ribemont, na Picardia, norte da França. O pai, oficial de cavalaria, morreu semanas depois do parto, e o menino foi criado pela mãe e educado por jesuítas em Reims.

Aos 22 anos apresentou à Academia de Ciências de Paris um ensaio sobre cálculo integral. Entrou na Academia em 1769 e, em 1776, virou o seu secretário perpétuo (o cargo que redigia as atas, os elogios fúnebres e a correspondência da instituição). Era amigo de Turgot, ministro das Finanças de Luís XVI, e de d’Alembert, coeditor da Enciclopédia.

O Ensaio sobre a aplicação da análise à probabilidade das decisões tomadas pela pluralidade dos votos saiu em Paris, em 1785. O livro tinha um objetivo otimista. Condorcet queria calcular em que condições um tribunal ou uma assembleia acertaria com mais frequência que um juiz sozinho.

A resposta virou o teorema do júri. Se cada membro tem mais chance de acertar que de errar, e se cada um vota por conta própria, a chance de a maioria acertar cresce com o tamanho do grupo e se aproxima da certeza. O ciclo apareceu no mesmo livro, como uma das condições em que a conta falha.

Com a Revolução, ele saiu da academia para a política. Foi eleito para a Assembleia Legislativa em 1791 e para a Convenção em 1792. Defendeu a instrução pública gratuita, o voto das mulheres e o fim da escravidão nas colônias. Em 1793 redigiu, com os girondinos (o grupo moderado da Convenção), um projeto de constituição.

Os jacobinos, rivais dos girondinos, tomaram o controle da Convenção e adotaram outro texto. Condorcet criticou a nova constituição por escrito e teve a prisão decretada em julho de 1793. Passou cerca de nove meses escondido na casa de Madame Vernet, uma viúva da rua Servandoni, em Paris. Ali escreveu o Esboço de um quadro histórico dos progressos do espírito humano.

No começo da primavera de 1794 deixou o esconderijo, com medo de comprometer a anfitriã. Foi preso em Clamart, perto de Paris, sem documentos, e levado à cadeia de Bourg-la-Reine. Em 29 de março de 1794 o encontraram sem vida na cela. A causa nunca foi esclarecida: os relatos falam de veneno e de exaustão, e nenhum documento da época decide entre as duas versões.

III  Contra o quê

Contra a vontade que se soma

O primeiro alvo era um colega de Academia. Jean-Charles de Borda, engenheiro naval, apresentou em 1770 um método em que cada eleitor dá pontos às opções conforme a sua posição na lista: dois para a primeira, um para a segunda, zero para a última. A contagem de Borda (a soma dessas posições) evitava o ciclo porque sempre produzia um placar.

Condorcet mostrou que o placar pode eleger alguém que perde todos os duelos diretos para um rival. Basta que a opção derrotada concentre muitos segundos lugares. Para ele, um método que despreza o vencedor do confronto direto troca a pergunta da eleição por outra.

Borda respondeu que o método dele servia a gente honesta. A frase ficou célebre porque admitia o defeito: quem conhece a contagem pode rebaixar de propósito o rival mais forte e eleger o próprio favorito.

O alvo maior estava fora da Academia. No Contrato social, de 1762, Jean-Jacques Rousseau falava da vontade geral (o interesse comum que o povo reunido quer, distinto da soma dos interesses privados). Para ele, contados os votos, a maioria revelava essa vontade, e quem ficava em minoria apenas tinha se enganado sobre ela.

O ciclo tira o chão dessa ideia. Se três maiorias legítimas apontam em círculo, não há uma vontade única esperando ser revelada pela urna. Há uma ordem escolhida por quem montou a votação.

O argumento voltou com força no século XX. Em 1948, o economista escocês Duncan Black mostrou que o ciclo desaparece quando todos ordenam as opções na mesma escala, da esquerda para a direita, por exemplo. Em 1951, o americano Kenneth Arrow publicou Escolha social e valores individuais e provou que nenhum método de votação com três ou mais opções atende ao mesmo tempo a um pequeno conjunto de exigências razoáveis. O resultado rendeu a Arrow o Nobel de Economia de 1972.

Três amigos decidem o jantar de sexta. Um quer pizza, depois japonês, depois churrasco. Outro quer japonês, depois churrasco, depois pizza. O terceiro quer churrasco, depois pizza, depois japonês.

Quem abre a conversa propõe pizza contra japonês, e pizza ganha. Na rodada seguinte, pizza contra churrasco, e o churrasco leva. Ninguém percebe que, se a primeira pergunta fosse outra, o restaurante também seria outro.

“Quem escolheu a ordem das perguntas?”

Eles foram ao churrasco.

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Segundo a edição, quem redescobriu o paradoxo de Condorcet quase um século depois, em Oxford, sem saber que o matemático francês já tinha chegado lá?

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